Apa itu Induksi Matematika?

Di bidang matematika, terdapat berbagai cara untuk membuktikan apakah sebuah pernyataan yang diberikan adalah benar atau salah. Salah satu cara yang sering diajarkan adalah dengan Induksi matematika. Induksi matematika adalah metode pembuktian yang sering digunakan untuk menentukan kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk bilangan asli. Induksi matematika sebagai salah satu metode pembuktian tidak secara khusus untuk memproduksi pernyataan baru lainnya, melainkan untuk memverifikasi kebenaran dari suatu dugaan (konjektur) kita.

Induksi Matematika bekerja seperti domino yang jatuh, jika 1 didorong dan jatuh, domino yang lain pun akan jatuh. Mekanisme Induksi Matematika dapat diibaratkan seperti Rune Goldberg Machine. 

Terdapat 3 rumus dalam Induksi Matematika, yaitu:

1. Tunjukkan bahwa pernyataan benar untuk n = 1 (Langkah Basis)

Nilai Basis untuk n sebenarnya tidak perlu 1, bisa juga menggunakan angka 2, 3 dan sebagainya. Namun, n = 1 lebih sering dipakai karena angka 1 mempermudah penghitungan.

2. Asumsikan bahwa pernyataan n = k benar (Langkah Induktif)

Nama variabel pun boleh bebas, tidak perlu k. Namun, k harus merupakan bilangan asli.

3. Buktikan bahwa pernyataan n = k + 1 juga benar (Langkah Kesimpulan)

Induksi Matematika dapat dipakai untuk membuktikan beberapa jenis soal. Selain memberikan jenis-jenisnya, akan dibahas juga beberapa tips untuk menyelesaikan langkah ke-3.  Jenis pertama adalah barisan dan deret bilangan. Langkah ke-3 dalam jenis soal ini dapat diselesaikan dengan melihat persamaan di langkah ke-2, lalu mensubstitusinya di langkah ke-3.

Jenis kedua adalah keterbagian bilangan. Langkah ketiga dalam jenis soal ini dapat diselesaikan dengan menganggap bahwa langkah kedua dapat dibagi dengan sebuah bilangan asli dan perkalian yang harus dibuktikan. Misalkan jika membuktikan (n^3)-n habis dibagi 6, maka persamaannya akan menjadi (n^3)-n=6b dengan b sebagai bilangan asli.

Jenis ketiga dan terakhir adalah pertidaksamaan. Langkah ketiga di soal ini dapat diselesaikan dengan sifat transitif pertidaksamaan. Misalkan jika k<(3^k), kita akan membuat sebuah pertidaksamaan, yaitu (3^k)< (3^k)+(3^k)+(3^k).

Referensi:

Gambar: https://bukanmalka.files.wordpress.com/2017/05/domino.jpg

Gambar: https://www.vernier.com/wp-content/uploads/2020/12/lab.PEP-16-rube-goldberg-machine.png

https://www.gramedia.com/literasi/contoh-soal-induksi-matematika/

https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-induksi-matematika-pada-keterbagian-bilangan/